A matemática e a lógica formal no capitalismo

Jéssica Milaré

Para se desenvolver, o sistema capitalista precisou criar transformações cada vez mais profundas sobre a matéria. A criação de máquinas cada vez mais complexas, capazes de realizar tarefas cada vez mais precisas, requer, por sua vez, um avançado conhecimento em física. Esta, para se desenvolver, apoiou-se na matemática, uma ciência que sempre se desenvolveu a partir do raciocínio lógico. Entretanto, até o final do século XIX, a lógica formal padrão era a aristotélica, um sistema lógico incapaz de desenvolver o raciocínio matemático em todo seu potencial.

Tanto Hegel quanto Marx fizeram duras críticas à lógica formal aristotélica. Entretanto, as pressões sociais causaram uma revolução nas bases da matemática e da lógica formal que começou pouco antes da morte de Marx e se estendeu ao longo de várias décadas. A maior revolução da lógica formal até hoje, assim como a da matemática, foi a formalização da matemática. Vamos discutir como se deu esse processo

O sistema euclidiano

Se tivéssemos uma máquina do tempo e voltássemos à Grécia Antiga, encontraríamos uma matemática totalmente diferente da que vemos hoje. Não havia fórmulas, símbolos estranhos, equações e nem números. Os gregos não inventaram a matemática, nem foram os primeiros a descobrirem como realizar operações aritméticas, mas foi na Grécia que nasceu o primeiro método axiomático, introduzido por Euclides em Elementos.

A palavra grega axioma significa “aquilo que se apresenta como evidente”. Euclides formulou um conjunto de axiomas a partir dos quais seria possível demonstrar os resultados em geometria que eram conhecidos na época utilizando apenas passos lógicos bem definidos. Esses resultados são chamados de teoremas.

Os três primeiros postulados (axiomas) de Euclides afirmam, respectivamente, que é possível ligar quaisquer dois pontos por uma reta, estender indefinidamente uma reta e construir um círculo com qualquer ponto como centro e com qualquer raio. Ou seja, esses postulados são apenas descrições abstratas sobre o que é possível realizar com uma régua (sem escala) e um compasso. Assim, a geometria euclidiana não era um estudo completo sobre o plano, mas apenas sobre o que é possível construir com régua e compasso neste plano. Por exemplo, não é possível construir uma elipse nem uma parábola diretamente com régua e compasso.

Aqui é preciso notar que esses axiomas não são “evidentes por si mesmos”, mas são evidentes para quem tem familiaridade com uma régua e um compasso. Já o quinto postulado, por não ser elementar nem evidente, foi alvo de polêmica na Grécia antiga. Muitos acreditavam que, por não ser óbvio, deveria ser possível demonstrá-lo a partir dos demais postulados. Hoje, sabemos que isso não é verdade, pois conhecemos a existência da geometria hiperbólica, que satisfaz os quatro primeiros postulados mas não satisfaz o quinto. Se houvesse uma demonstração lógica do quinto postulado a partir dos quatro primeiros, essa mesma demonstração valeria para a geometria hiperbólica, mostrando que o quinto postulado seria satisfeito também nessa geometria, o que não é verdade.

Além dos cinco postulados, Euclides também enunciou algumas “noções comuns” (que dizem respeito à noção de igualdade) e que hoje também são classificadas como axiomas.

O sistema axiomático construído por Euclides demonstra que é possível sistematizar o estudo da geometria (e também da aritmética) de forma separada da atividade humana concreta. O sistema de Euclides corresponde à atividade humana e ao mesmo tempo é independente dela.

Na Grécia Antiga, a matemática se desenvolveu tendo o trabalho de Euclides como base. Nesse trabalho, até mesmo a aritmética era vista sob a ótica da construção com régua e compasso. Entretanto, existem números que não podem ser construídos com régua e compasso, como, por exemplo, o número pi e a raiz cúbica de 2. Esta era a maior contradição da matemática grega: ela pressupunha implicitamente que todos os números são construtíveis, o que não é verdade. Isso deu origem aos três problemas clássicos gregos que (embora não soubessem na época) não podem ser resolvidos a partir da matemática grega. Essa contradição gerou a necessidade de um novo sistema axiomático para os números reais. Foi só no século XIX que foi a compreensão da matemática se aprofundou ao ponto de demonstrar que nem todos os números são construtíveis. A contradição da matemática grega foi resolvida.

A lógica aristotélica

A lógica formal é uma ciência que estuda as regras que permitem alguém chegar a uma conclusão a partir de um conjunto fixo de premissas (hoje também chamadas de axiomas) e uma sequência de passos lógicos. A lógica formal não pode estipular quais premissas devem ser aceitas, mas apenas avaliar se a conexão entre essas premissas e a conclusão seguem as regras da lógica. O trabalho de Aristóteles em Metafísicas serviu como base para a lógica clássica que até hoje é a lógica padrão. Apesar de existirem outros sistemas lógicos formais, é a partir dessa lógica que as pessoas são ensinadas a pensar ao longo do sistema de ensino, principalmente nas disciplinas de exatas.

Na lógica aristotélica, uma proposição assume um e apenas um entre dois valores de verdade: verdadeiro ou falso. É isso que, essencialmente, está por trás dos três princípios aristotélicos (princípio da identidade, da não-contradição e do terceiro excluído). Por causa disso, a lógica formal aristotélica é incapaz de lidar com algumas sentenças matemáticas. Nem mesmo alguns resultados mais complexos que Euclides obteve poderiam ser formalizados na lógica aristotélica. Como seria possível estudar proposições sobre objetos desconhecidos (ou seja, variáveis) se o próprio valor de verdade dessas proposições não são variáveis? Para poder resolver essa contradição, a lógica formal também precisou aprofundar sua compreensão sobre proposições e o pensamento lógico.

O programa de Hilbert e a matemática do século XX

No início do século XX, havia uma crise na matemática: faltava-lhe um fundamento. As teorias matemáticas estavam dispersas, cada uma era desenvolvida a partir de suas próprias regras. Hilbert lançou um programa para resolver essa crise: criar um fundamento para toda a matemática. Isso significaria criar um sistema axiomático a partir dos quais seria possível construir e demonstrar logicamente toda a matemática que existia até então.

Isso, evidentemente, era muito mais difícil do que na época de Euclides, mas as ferramentas necessárias para concretizar essa tarefa já haviam sido criadas.

Gottlob Frege desenvolveu em 1879 a lógica de predicados. Frege foi responsável por criar técnicas dentro da lógica formal que fossem capazes de lidar com variáveis, em especial pela criação do conceito de quantificador. É com esse conceito que a lógica de Frege foi finalmente capaz de formalizar um velho teorema de Euclides: “existem infinitos números primos”.

Vale aqui uma observação: Frege não estendeu a lógica aristotélica, mas a negou. Para Aristóteles, uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, nada mais. Cada predicado, pelo contrário, ora assume um valor verdadeiro, ora assume um valor falso, dependendo de qual é o valor de cada variável nele contido. Ao contrário das proposições de Aristóteles, o predicado “x é branco” encerra em si as duas possibilidades, verdadeiro e falso, ou seja, sua veracidade é relativa ao valor de “x”. Frege incorporou na lógica formal um conceito matemático e, sem perceber, deu um salto em direção à dialética. Essa é uma verdade que os matemáticos de hoje não admitem. A lógica fregeana desenvolveu e negou a lógica aristotélica da mesma forma que a atual estrutura dos números reais de hoje desenvolveu e negou os números construtíveis da matemática grega.

O trabalho de Frege ficou desconhecido internacionalmente por várias décadas. Em 1893, Frege lançou a primeira edição do livro “Leis Básicas da Aritmética”, criando, a partir de sua lógica, um sistema axiomático para a aritmética. Em 1903, quando a segunda edição do seu livro estava para ser impressa, Bertrand Russel mostrou que era possível chegar a um paradoxo a partir de seu sistema axiomático, o conhecido Paradoxo de Russel.

Na década de 1910, Bertrand Russel e Alfred Whitehead lançaram três volumes de Principia Mathematica, que continham um extenso trabalho (mais de 1900 páginas!) para construir toda a matemática conhecida até então a partir de algumas dezenas de axiomas. Este trabalho foi baseado na obra de inúmeros matemáticos. Seu sistema lógico era fregeano. Os objetos matemáticos eram construídos a partir da teoria de conjuntos que Georg Cantor desenvolvera no século anterior utilizando a teoria dos números reais. Após mais de dois mil anos, o trabalho de Aristóteles e o de Euclides finalmente encontraram uma síntese.

O programa de Hilbert buscava outros resultados. Algumas décadas depois, Kurt Gödel e Alan Turing demonstraram que era impossível alcançar a maioria dos objetivos que o programa buscava.

A matemática e a lógica formal na atualidade

A matemática de uma época é a matemática da classe dominante. Na Grécia Antiga, a matemática era uma ferramenta utilizada, por exemplo, para administrar a propriedade privada, estudar a música e as obras de arte. O que as escravas e os escravos ganhavam com a matemática? Nada. Pelo contrário: a classe dominante, que detinha a propriedade privada, encontraria na matemática uma forma de quantificar e administrar seus escravos, pois eles eram propriedades.

Hoje em dia, as universidades, as revistas acadêmicas e as pesquisas científicas estão cada vez mais sob o controle das empresas e dos bancos, direta ou indiretamente. As áreas que servem diretamente ao lucro das empresas (como as engenharias) recebem volumes consideráveis de dinheiro para que possam desenvolver suas pesquisas. Cada vez mais laboratórios são comprados e controlados diretamente pelas empresas. Áreas que não servem para o lucro da burguesia ainda são financiadas pelo Estado, seja por tradição ou por serem necessárias ao desenvolvimento geral da universidade, mas recebem financiamentos e incentivos bem menores e às vezes entram em crise.

Esta lógica fez com que a matemática da atualidade se dividisse em duas partes. Uma parte, conhecida como matemática aplicada, diz respeito às pesquisas que estudam a matemática ligada à atividade humana e que, por isso, podem ser apropriadas e direcionadas pelas empresas. A matemática aplicada é utilizada, por exemplo, para estudar e otimizar o processo de produção e de transporte das mercadorias, evitando desperdício e economizando tempo de trabalho. A outra parte, a matemática pura, diz respeito ao estudo da matemática em sua abstração, incluindo axiomas e teoremas, mas que não busca e nem sequer conhece sua aplicação prática.

A academia ensina que a matemática só pode ser desenvolvida a partir de axiomas, cuja veracidade é tomada como pressuposto e como fundamento para o raciocínio lógico. Esses axiomas geralmente incluem uma concepção fregeana da lógica. Isso tudo cria a ilusão de que a matemática se desenvolve a partir do “pensamento puro”, desvencilhado da materialidade, que independe de qualquer subjetividade ou contexto histórico no qual o ser humano que a estuda está inserido.

A História, entretanto, mostra que a matemática, na verdade, se desenvolveu historicamente a partir da abstração da atividade humana concreta sobre a natureza e que sempre esteve ligada ao seu contexto histórico e social. A lógica também se desenvolveu historicamente a partir do conhecimento humano sobre a própria natureza. Descobertas recentes na Física, por exemplo, levaram à criação de outros sistemas lógicos formais, como a lógica quântica e a lógica fuzzy, que desobedecem às regras da lógica aristotélica.

Enquanto o fundamento para a matemática grega eram os postulados de Euclides, o fundamento para a matemática de hoje é o sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel. Esse sistema não tem como base a atividade humana nem características da natureza, seus axiomas não podem ser verificados empiricamente e não são nem um pouco evidentes.

Muitas pessoas julgam que eles são intuitivos. Essas pessoas passaram a infância brincando com bolinhas, aprendendo a contar maçãs e laranjas, a desenhar círculos ao redor delas para representar conjuntos, estudaram matemática durante os ensinos fundamental, médio e superior e só então puderam estudar e entender o significado de cada um dos axiomas. Outras pessoas defendem que a matemática é uma invenção humana, que o universo matemático é uma abstração humana que não existe. Entretanto, não só a matemática é produto da abstração humana do mundo real, como também, através do trabalho humano, se mostra capaz de entender, prever e modificar o mundo ao nosso redor.

Alan Turing desafiou essa lógica. Turing cresceu em um mundo onde as máquinas se desenvolviam e adquiriam cada vez mais importância. Isso o inspirou a conceber teoricamente uma máquina capaz de executar qualquer algoritmo. A partir de sua teoria matemática, não só ele demonstrou que alguns dos objetivos do Programa de Hilbert não poderiam ser atingidos quanto também foi capaz de criar sua máquina, a máquina de Turing, hoje conhecida como computador. Turing mostrou que é possível desenvolver a matemática não em sua pura abstração, nem em sua aplicação empirista, mas sim relacionando a teoria e a prática, o abstrato e o concreto.

Na verdade, a separação da matemática entre pura e aplicada serve apenas para que as empresas consigam melhor se apropriar de sua aplicação e manter a matemática pura sob controle, longe do mundo real. A matemática, ao contrário do que a lógica formal prega, não é um conjunto de resultados lógicos obtidos de axiomas que foram entregues aos seres humanos pelos Céus. A compartimentação do conhecimento impede o desenvolvimento da matemática porque seu fundamento não está nos axiomas, mas sim no seu desenvolvimento histórico que teve como base o desenvolvimento da sociedade e de suas relações socioeconômicas, assim como o desenvolvimento da lógica e de todo o conhecimento humano. Apenas o materialismo histórico-dialético pode fazer com que a matemática supere os limites da lógica formal.

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